[확률과 통계] 순열과 조합

순열(nPr)

• 서로 다른 n개 중 r개를 선택하는 경우의 수
• 순서가 중요할 때

$$
_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}
$$

 

• 3명 중 2명을 뽑아 처음 사람에게 밥을 주고, 두 번째 사람에게 음료를 준다. 이때의 경우의 수는?
  a, b // b, a 는 서로 다른 경우 : 순서가 중요하다

 

조합(nCr)

• 서로 다른 n개 중 r개를 선택하는 경우의 수
• 순서가 중요하지 않을 때

$$
_nC_r = \frac{n!}{(n-r)!r!}
$$

 

• 3명 중 2명을 뽑아서 밥을 주려고 할 때, 경우의 수는?
• a, b // b, a 는 같은 경우 : 순서가 중요하지 않다
• 같은 것이 있는 순열
  • 같은 것의 개수만큼 팩토리얼로 나눠준다
  • case 1: aaabb를 나열하는 경우의 수
  • case 2 : 원순열
  • case 3 : 최단거리 길 찾기

 

중복순열 (nπr)

• 중복가능한 n개 중에서 r개를 선택하는 경우의수
• 순서가 중요할 때

$$
_nπ_r = n^r
$$

 

• 선거를 하는 데 후보 a, b, c 3명이 나왔다. ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ 네 사람이 투표하는 경우의 수는?
  ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ → a, a, b, c // a, b, b, a 의 투표 결과는 서로 다르다. 따라서 순서가 중요하다

 

중복조합(nHr)

• 중복가능한 n개 중 r개를 선택하는 경우의 수
• 순서가 중요하지 않을 때

$$
_nH_r = _{n+r-1}C_r
$$

 

• x + y + z = 7 이다. 만족시키는 (x, y, z) 경우의 수는?
  → xxyyyzz 와 같이 표현 가능
  → x, y, z의 중복가능한 3개의 종류 중에서 7개를 선택하는 경우의 수